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2020年

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中学受験指導レザン

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カタラン数・モンモール数 解答

みなさんこんにちは。

本日はカタラン数・モンモール数の解答です。

問題はこちら

 

それでは、お付き合いくださいね。今日はちょっと長くなりますよ…きっと

解答です。

①まずは、カタラン数って何?

「一方が常にもう一方を超えない場合が何通りあるか」と言うことです。

500円硬貨を●、1000円札を□と置いて

1000円札が500円硬貨の枚数を超えないことに注意して書きだしてみると

●●●●□□□□  ●●□□●●□□

●●●□●□□□  ●●□□●□●□

●●●□□●□□  ●□●●●□□□

●●●□□□●□  ●□●●□●□□

●●□●●□□□  ●□●●□□●□

●●□●□●□□  ●□●□●●□□ 

●●□●□□●□  ●□●□●□●□

以上の14通りになります。

過去問を解いた時の解説では、この方法ではなく、格子点を利用した移動の方法を紹介しました。

「それもここに書いて」と思っている方もいますでしょうか?

また、機会がありましたらご紹介しますよ!

 

② A B C D Eさんのプレゼントをa b c d eと置いて並べてみます。

A B C D Eの順にもらえるのは

b a d e c    b c a e d   b d a e c   b e a c d

b a e c d    b c d e a   b d e a c   b e c a d

b c e a d   b d e c a   b e d e a

以上Aがbをもらうときに11通り。c d e をもらうときも11通りずつなので

4×11=44通りになります。

中学受験でモンモール数(攪乱順列)を出題できるのは、この5人のプレゼント交換の問題まででしょう。

なぜなら、小学生に数列の漸化式の理解は無理ですよね。

漸化式を解いて6人のプレゼント交換を求めると265通りになってしまいます。(調べ上げるのは無理でしょう・・・)

 

だらだらと解説をしていたら、こんなに長くなってしましました。

カタラン数、0 1 2 5 14 42 …

モンモール数、0 1 2 9 44 265 …

覚えておけば、調べ上げていく時も役に立ちますよ。

 

今日はここまでにします。