算数 四角数その4
みなさん、こんにちは。こんばんは。やのです。
本日は、髪の毛を切ってまいりました。約2ヶ月ぶりでした。
そして、昨日宣言した通り教室のデスク周りの掃除に着手しました。今日は目につくゴミを整理しました。明日は「断捨離」をしようと思っています。トキメカナイ物がまだまだあります（トキメク物を残そう、そうでないものは捨てましょう。と片付けのプロがいっていたような気がします。）
閑話休題
では、昨日のつづきです。
（2）1から小さい順に10個ずつ取り出して、3つのグループを作ったときそれぞれのグループの和を求めなさい。
問題の条件が足りませんでした。「奇数」を取り出します。
それでは解説です。昨日の「1から連続するN番目までの奇数の和は N×N 」を利用するとすぐに計算できます。
最初の10個の和は
1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=10×10=100
これはそのままですね。
次の10個の和は、この100を利用します。
1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21+23+25+27+29+31+33+35+37+39=20×20＝400
ここから最初の10個の和を引けば良いわけですね。
21+23+25+27+29+31+33+35+37+39＝400-100=300
この次の10個の和は同様に
30×30-20×20＝500 となります。だいぶシンプルに解くことができますね！
いかがでしたか？四角数（平方数）の上手い使い方のご紹介でした。
本日はここまで。
また明日です。
算数 四角数その3
みなさん、こんにちは。こんばんは。やのです。
新年度初日ですが、何も仕事をしない1日に・・・（小5生の補講はしました）
教室の自分のデスク周りを掃除したくてウズウズしています。明日やってやりますよ〜！！徹底的に掃除したいと思います (^ ^)
閑話休題
それでは昨日の続きです。
（1）
連続した奇数を取り出してくると、1、3、5、7、9ですね。
その和は
1+3+5+7+9=25 と普通に計算しても良いのですが、ここで一工夫
算数 四角数その2 頑張れ受験生
みなさん、こんにちは。こんばんは。やのです。
本日は日頃の行いが良いはずなのに、PCの設定が消えてしまいました・・・
トラックパッドでジェスチャーを入力すると色々な制御ができるようにしていたんです。それが全部リセットされてしまい不便になってしまいました・・・（涙）
これから再設定します（涙）
閑話休題
奇数列の和の問題です。
ーーーーーーーーーーーーーー
（1）1から始まる連続した奇数を小さい順に5個取り出したときの和を求めなさい。
（2）1から小さい順に10個ずつ取り出して、3つのグループを作ったときそれぞれのグループの和を求めなさい。
ーーーーーーーーーーーーーー
昨日も書きましたが、四角数がポイントです。
それではシンキングタイムスタートです。
もう一つ、今日は書かなきゃいけないことがあります。
明日は東京都私立中学受験初日です。
算数 四角数その1
みなさん、こんにちは。こんばんは。やのです。
今日は朝の鍵開け当番でした。普段は吉良先生に任せっきりなのです・・・ﾒﾝﾎﾞｸﾅｲ
朝早めに出ましたが、ちょうど小中学生の登校時間と重なりました。若い子達は元気ですね。ワイシャツだけで上着をきていない中学生に遭遇しました！おじさんなんて、寒すぎて何枚も重ね着していたのに。おかげでマシュマロマンみたいな見た目になってました。（マシュマロマンはゴーストバスターズに出てくるアレです。ミシュランマンは似ているけど違うものらしいです。マシュマロマンはその名の通りマシュマロのお化けで、ミシュランマンはタイヤでできているそうです。素材が違うのですね！また余計な話が長くなってしまいました・苦笑）
僕も中学生ぐらいの時は・・・ってそんなことないです。僕は当時から寒がりでした。
閑話休題
本日は、小5生の補講というかなんというか・・・どういう位置付けにすれば良いのか迷う授業をしました。
小5生の算数のカリキュラムは計画通り、全て消化しました。（なかなか例年では考えられない事態です・苦笑）今日は、受験勉強の基礎固めの授業というのでしょうか・・・数論が非常に弱いので「規則性」の復習とそれに付随するちょっと便利な数字を紹介しました。
みなさんは四角数ってご存知ですか？
四角数＝平方数です。
これを何に活用したかというと、「奇数列の和」に利用できるのです。
では、明日から問題を解いてみましょう！
本日はここまで。
また明日です。
雑記 難問 解説その1
みなさん、こんにちは。こんばんは。やのです。
本日で（レザンの生徒たちの）千葉県内の入試が、ひと段落です。残すは都内入試。ラストスパートです。
閑話休題
早速昨日の続きです。
ポイントは「パスカルの三角形」と（おそらく）「フラクタル」です。
算数 場合の数その3
みなさん、こんにちは。こんばんは。やのです。
本日は受験前のお仕事をひたすらしていました。受験前のお仕事って、ナニ何なに？ってお思いの方もいますね？教えません（苦笑）小6生と卒業生のみなさんだけが知っていることです。ヒントは「一筆入魂で書いているもの」の準備です。
閑話休題
昨日の続きです。
ーーーーーーーーー
（3）0、1、1、2、3の5枚のカードを並べて3桁の整数を作るとき、何通りの整数ができますか？
ーーーーーーーーー
昨日は、樹形図をもれなくダブりなく書いてみました。
それでは、今日は数え方のポイントを踏まえて考えてみたいと思います。ポイントは「数えにくいときは分類（場合わけ）する」です。昨日樹形図を書いた理由は「数えにくい」ことをみなさんに実感してもらいたかったからです。
では、どのように分類するのか？ということになってきますが、コツは「数えにくい原因は何？」と自問自答してみることにあります。
今回の数えにくい原因は「0」カードがあることと「1」が2枚あることです。そして「0」は先頭に使えないという条件だけ。
このことから今回の分類は「1」のカードが2枚あることに注目して・・・
ア）「1」のカードを2枚必ず使う
イ）0、1、2、3のカードを並べる（数えにくい原因をアで取り除いたので、普通の問題に直すイメージです）
アを更に分類します。（「0」のカードを処理すると数えやすくなります）
①（1、1、0）を並べるとき・・・110、101の2通り
②（1、1、2）を並べるとき・・・112、121、211の3通り
③（1、1、3）を並べるとき・・・113、131、311の3通り
イのときは、昨日解説した（2）と同じですね。「0」に気をつけて樹形図を書きます。（今日は省略）3×3×2＝18通り。
以上のことから、2＋3＋3＋18＝26 答え26通り
樹形図を書いた方が楽だよ！って声が聞こえてきそうですが、こちらの方が断然楽で正確ですよ（苦笑）
この「分類してから数え上げる」ことが場合の数のポイントです。みなさん覚えておいてくださいね。
本日はここまで。
また明日です。
算数 場合の数その2
みなさん、こんにちは。こんばんは。やのです。
本日は小5生の授業で音の話をしました。
その際、弦楽器の話になってですね・・・本物の琴を演奏したことがある生徒がいました。ちょっと興味が湧きますよね。「琴」を触ったこともないおじさんはちょっと羨ましく思いました。
昔から文人の教養は、琴棋書画って言われていて・・・ってどうでも良いですか？？ちなみに「棋」は囲碁のことをいうのですよ（私、少々嗜んでおります。最近打てていませんが・汗）
閑話休題
それでは、昨日の問題を解いてみます。
ーーーーーーーーー
（1）1、2、3、4、5の5枚のカード並べて3桁の整数を作るとき、何通りの整数ができますか？
ーーーーーーーーー
この問題は樹形図の便利さを知ってもらう問題です。（手書きで失礼します。)
算数 場合の数その1
みなさん、こんにちは。こんばんは。やのです。
今日は寒すぎでしたね。窓を開けて換気をしながらだと寒くて寒くて・・・（サムイのきらい）
受験生のみなさん、体調管理をしっかりとね。早寝早起きを今日からでも始めましょう。万全の状態で入試本番に挑みましょう！！
閑話休題
本日から「場合の数」の考え方をご紹介したいと思います。（今日は順列の問題を紹介します）
ー問ーーーーーーーーーーー
（1）1、2、3、4、5の5枚のカード並べて3桁の整数を作るとき、何通りの整数ができますか？
（2）0、1、2、3、4の5枚のカードを並べて3桁の整数を作るとき、何通りの整数ができますか？
（3）0、1、1、2、3の5枚のカードを並べて3桁の整数を作るとき、何通りの整数ができますか？
ーーーーーーーーーーーーー
（1）はカンタン
（2）もカンタンですね。「0」のカードをどのように考えるかです。
（3）が今回のメインです。「1」のカードが2枚あります。どのように考えるとモレなくそして、ダブリなく数えられるかを考えてみてください。
さぁそれではシンキングタイムスタートです。
本日はここまで。
また明日です。
新年度生体験授業申込受付中です。お問合せお待ちしています。
算数 2022夏期講習26日目 解答その2
そもそも「エラトステネスのふるい」は素数の判別方法です。
倍数を利用して素数を導き出す表なのですが、今回はちょっとそれを使って解いてみたいと思います。
ここからは写真も使って紹介します
算数 2022夏期講習25日目 解答その1
みなさん、こんにちは。こんばんは。やのです。
最近朝の４時台は暗いですよ。みなさん起きていますか？なんでそんなに早く起きているのかって・・・当然掃除ですよ。仕事が再開されてから、生活のリズムが戻ってきて体調がよくなってきました。バリバリと働きますよ！
閑話休題
それでは昨日の問題を解いていきましょう。
まずは問題を再掲します。
問）
5円と6円の2種類の切手がそれぞれたくさんあります。この2種類の切手で表すことのできない値段は何通りありますか。ただし、使わない種類の切手があってもよいこととします。
算数 2022夏期講習24日目 良問紹介
みなさん、こんにちは。こんばんは。やのです。
本日から5日間（小6生は6日間）夏期講習後半戦です。みんな、精一杯学習しましょうね！おじさんたちもがんばりますよ。
でも、朝からとんでもないことが起きました。教室につき自分の机に荷物を置き座ろうとしたところコケました。腕にかすり傷が・・・痛い（涙）
閑話休題
今日は、またもや面白い問題をご紹介したいと思います。
よく見かける問題ですが、どのように効率よく調べるかがポイントです。
算数 2022夏期講習8日目 算数良問解説
みなさん、こんにちは。こんばんは。やのです。
本日は、危難器具・誘導灯の取り付けが行われました。着々とビルの改修工事が進んでいます。工程表を見ると、明日も避難器具の取り付けとなっております。おそらく予備日？なので工事はなさそうです。
工事関係のみなさん、ありがとうございます。
閑話休題
今日は、昨日の問題の解説を書いていきます。その前に問題を再掲します。
問）
あるクラスの生徒全員が円形に並び、時計回りに1人ずつ、1から順に整数を数えていったところ、「29」と「197」を言った生徒は同じでした。このクラスの人数は何人ですか。ただし、生徒の人数は30人以上45人以下です。
算数 2022夏期講習7日目 算数良問紹介
みなさん、こんにちは。こんばんは。やのです。
本日は雨が強い時に出勤せざるを得なかったです。家を出た時は大雨、稲毛海岸に着いたらほとんど雨が降っておらず、日頃の行いの良さを・・・どのように判断して良いものやら。
夏期講習中にも、皆様のお役に立つ内容を書きたいと思ってはいるものの、絶対的な時間が足りていません。もう少し早く出勤すれば良いのかしら。
閑話休題
役に立つということならこれしかないですね。「算数の問題を一緒に解きましょう。」
今日は小6夏期講習のテキストから1題紹介します。
雑記 植木算のツボ
みなさん、こんにちは。こんばんは。やのです。
勉強のことを書きたいと思っているんですけど、筆がすすまない（タイピングがすすまないと書いた方が良いのかな？）ことが多いんです。
ブログで色々な問題を解いて解説してしまうと、授業で教えることが無くなってしまうのではないかと思ってしまうんです。（ケチでしょ・苦笑）
こんなことを覚えておくといいよってちょっとだけ書けばいいのに、どうしても全部解説してしまいそうになってしまいます。
本音は、体験授業を受けてほしいのです。「こんなことも聞けるんだ！」とか、「こんなふうに考えればいいのか！！」とか、「こんな図の使い方があるの！！！」なんてことを経験できますよ。ただし、僕の授業は暑苦しいくらいシツコク説明し続けるので・・・それをご承知の上で、体験してくれると助かります（汗）
閑話休題
今日は、植木算を4年生と学習しました。
植木算のツボは、、、、ここには書きません（ケチでしょ・苦笑）
本日のメインの問題は、「10から90まで整数は何個ありますか？」という問題。
解答はみなさんご存知の通り以下の方法です。
90−10+1＝81
答え81個
重要なのは、解き方を覚えることではないのですよ。この式の意味説明できますか？
（問いかけるだけで、答えは書かないスタイルで今日は終わります。ケチでしょ。苦笑）
本日はここまで。
また明日です。
算数 三山くずし③
問題を再掲します。
問１）
A、Bの順にとります。３つの山の個数が（３、２、１）の時、Bさんが必ず勝つ取り方があります。それはどのような取り方ですか？
問２）
どの山にも石があり、その総数が10個以内の時、Bさんが必ず勝てる石の数はどのような組み合わせですか。
（洛西中 改題）
問１の答えは、二つの山が同じ個数で、残りの山が０個になるようにとる。
問２はこの問１がヒントになっています。
それでは、解いてみます。
答）
２つの山が同数の時はAが必勝の形になるので、除外して・・・
10個以内の山の分類をすると、
（３、２、１）
（④、２、１） （⑤、２、１） （⑥、２、１） （⑦、２、１）
（④、３、１） （⑤、３、１） （⑥、３、１）
（５、４、１）
（④、３、２） （⑤、３、２）
問１よりAが取った後の個数が（３、２、１）になるとAが必勝です。
○の付いている石をチョイチョイととると、Aの勝利が決定します。
なので、Bさんが勝てるのは（３、２、１） （５、４、１）の２通りです。
（ふぅ〜 問題をブログで解くのって、説明しづらいです。黒板を使いたくなります…当分やらない気がする。苦笑）
受験算数界隈では、（あとは、数学好き界隈では）三山くずしって２進法と関係していることがわかっています。「ニム和」って言います。
それについては、またの機会に紹介しようと思います。
それでは、みなさん良い週末を！
算数 三山くずし②
それでは、今日は必勝法を考えてみたいと思います。（考えると言っても、すでに入試問題で出題されています。）
問１）
A、Bの順にとります。３つの山の個数が（３、２、１）の時、Bさんが必ず勝つ取り方があります。それはどのような取り方ですか？ （洛西中 改題）
さあ、みんなで考えよう！
・・・・・・・
・・・・
・・
・
答え）
Bさんが取った後、２つの山の個数が同じで残りの山は０個になっているときBさんの必勝です。
例えば、
（３、２、１）→A（３、２、０）→B（２、２、０）これでBさんの勝ちです。
（３、２、１）→A（３、１、１）→B（０、１、１）これもBさんの勝ち。
（３、２、１）→A（２、２、１）→B（２、２、０）これも・・・。
（３、２、１）→A（１、２、１）→B（１、０、１）こr・・・
この先は、ちょっと考えてみてくださいね！
では次の問題にいってみましょう。
問２）
どの山にも石があり、その総数が10個以内の時、Bさんが必ず勝てる石の数はどのような組み合わせですか。
さあ、みんなで考えよう‼︎
答えは、明日。（えっ・・まだ続くの!?・汗）
算数 三山くずし①
みなさん、おはこんばんちは。やのです。
5年生の授業で、今日のブログのネタを何にしようかと相談したところ"書かなきゃいいじゃん"と言われてしまいました。。。そんなに需要ないのかな（涙）
気を取り直して・・・
大人気メガネブログ今日の話題は、「三山くずし」にします！
算数で、よく（?）出題されるゲームの問題です。ご存知の方もいるかと思いますが、まずルールの説明です。
三つに分かれた石の山があります。
① 二人が交互に取って行きます。
② 一つの山からは石を何個でも取ることができます。
③ 複数の山から同時に取ることはできません。
④ 一つも取らないことはダメです。
⑤ 最後に石を取った方が勝ち。
複雑そうですが、例を一つ紹介します。
小6算数 久しぶりに問題を解きます（周期）その2
みなさん、おはこんばんちは。寒暖差がおおきくて、体調管理が大変です。新年度が始まり１か月、生たちには若干疲れが見え始めています。僕は相変わらず元気です。
昨日に続いて、珍しく算数の問題の話です。お付き合いください。
■解答です
早速解いていきたいと思います。
「クラスの人数は38人で、掃除当番は出席番号順に1日8人ずつで、最後までいくと1番に戻ります。掃除は休みなく行うものとするとき、1番から8番の8人が2回目に掃除当番になるのは、初めの日から数えて何日目ですか。」
まず38人の意味を考えてみたいと思います。この問題は、周期になるのですが（掃除当番が繰り返されるからです。）周期の人数が何人なのかを考えなければなりません。クラス38人で割り切れる人数を考えます。掃除当番は8人ずつですから、周期の人数は8で割り切れなければいけません。
38でも8でも割り切れる人が、この周期の延べ人数なんですね。ということで、38と8の最小公倍数152人の周期を考えると、152÷8＝19日 1周期あたり19日間です。
次に何日”目”…序数です。（基数・序数の違いはマタの機会に・・・）この問題では、2周期目の1日目のことをこたえるので、19×1+1＝20日目 となります。
ただ何となく、出てきた数字の「38と8の最小公倍数がのべ人数になる」なんて解説では納得できません。「なぜなのか？」をしっかりととらえるべきです。今回は倍数の意味を考えるべきでした。
やはり、授業のことを書くとカタい文章になってしまいますね。本日はここまでにします。
小6算数 久しぶりに問題を解きます（周期）その1
みなさん、おはこんばんちは。今日も独り言の更新です。
今日はひな祭りです。ただ、僕には無縁の行事です…
本日は勉強の話をしますよ!!
■約数・倍数の意味は言えますか??
スミマセン。昨日更新できませんでした。楽しみしていただいている方には大変申し訳ありませんでした。今日は、しっかり更新を…
昨日の小6の授業は、周期の問題でした。
「クラスの人数は38人で、掃除当番は出席番号順に1日8人ずつで、最後までいくと1番に戻ります。掃除は休みなく行うものとするとき、1番から8番の8人が2回目に掃除当番になるのは、初めの日から数えて何日目ですか。」
という問題を解きました。ポイントは２つあります。
「倍数の意味」「基数と序数」
みなさん読み取れますか??
解説は明日にします。
昨日は、久しぶりに靴にワックスをかけました。家についてから1時間かけてピカピカにしましたよ。キレイにするとウズウズしますね。雨が降るかもしれないのに履いてきてしまいました。何か準備すると試したくなるものですね。勉強もしっかりと用意（復習）をすると試したくなるはずです。上記の授業で解いた問題も、第１回の授業で学習した「約数の意味・倍数の意味」を使いたくなるようになっていたらよかったのですが…
本日はここまでにします。明日は解説です。
雑記 掃除と数論
みなさん、おはこんばんちは。昨日は久しぶり（約１か月ぶり…）の休みでした。のんびりできましたよ。今日から１週間の始まりです。頑張っていきましょう。
本日は、雑談です。お付き合いくださいね。
■ゴールがわかっていれば気が楽になる
久しぶりの休みだったので、窓ふきをしたいと思っていたんです。ホームセンターで窓ふき用の使い捨てペーパーを買って、網戸用のもついでに買って準備万端。風の強い中、掃除してみました。寒かったです。しかし、掃除の後の爽快感はいいものですね。これを知っているから、掃除なんてつらいことを、すすんでできるんだと思います。先の見えない勝負って不安でしょうがないですよね。
先日の公開模試で、「不定方程式」が出題されていました。（問題の内容については、まだ触れません。後日受験の生徒さんもまだいるかもしれないので…） 数論では、最終的に調べ上げる問題ってかなりあります。ただし、最初からやみくもに調べてはいけないんです。調べるためのルールがあります。そして調べる範囲を先に決めなくてはいけません。調べる範囲がわかっていれば、計算の集中力が持ちます。（とにかく、調べるときの計算は同じことの繰り返しなので、集中力が途切れがちになります） ゴールがわかっていれば気持ちが楽になりますよね。掃除と一緒です。授業では調べ上げる問題へのアプローチは勿論教えています。しかし、まだまだ自力では範囲の限定まではいきませんね。修業修行…
今日もムリヤリ勉強と結び付けてみました。
本日は、ここまでにしたいと思います。お付き合い、ありがとうございました。
小６算数 数列・数表の授業の様子
みなさん、おはこんばんちは。
小6週間スケジュールを間違えて、来週分をアップしてしまいました。スミマセン。本日更新しなおしました。
この数日、寒いですね。この冬一番の寒波が来ているそうです。朝布団から出るのがつらかったです。
本日は、昨日の小６生の授業の話をしたいと思います。お付き合いください。
■数列・数表・緊張感
昨日は小６生の授業がありました。みんな気合が入っています。今まで姿勢が悪かった生徒の背筋が伸びているんです。スバラシイですよ。この緊張感がズット続くといいんですよね…みんな、ガンバロー!!
小６生のこれからのカリキュラムは、当分の間「数論」を勉強していきます。数列・約数倍数・周期・場合の数の順に学習していきます。昨日の授業では「等差数列」「群数列（グループ分け）」「数表」、それに「平方数・三角数」を加えた内容を学習しました。どれも、基本事項です。最終的に「数論」って問題に書いていない条件を読み取ることがポイントになってきます。しかし、基礎がしっかりしていて初めて条件の全てを見通すことができるんですよ。基礎練習って…ヤッパリ大切デス。
昨日の授業は「数表」に力を入れてみました。横に並べたもの、L字型に並べたもの、三角形の形に並べたもの、それぞれ注目することが違うんです。みんな頭の中整理できたかな？横に並べたものは、「周期」「等差数列」 L字型に並べたものは。「平方数」 三角形（斜め）に並べたものは「三角数」に注目ですよ。
授業見学・体験授業・入塾試験受付中です。お問い合わせはこちらからどうぞ。
本日は、ここまでにします。
算数 過去問を解いていて、面白い問題を発見しました①
みなさん、おはこんばんちは。
今日も独り言を書いていきます。お付き合いください。
入試問題を解いていると、先人の知恵を小学生にも解けるように工夫して出題していることに気づきます。
作成した先生はご苦労なさっていることと思います。頭が下がります。
受験生の中には入試の時に算数の問題に興味を持って、そして入学後数学の楽しさと美しさとに気が付いて勉強に励み…なんて人がいるかもしれませんね。妄想が膨らみます（汗）
本日はＨ25市川中 第2回入試 算数大問6の(2)が気になってしまったので紹介したいと思います。
■アルキメデスの無限等比級数
このブログでも以前も登場しました「アルキメデス」
物理学者・天文学者でもあり、数学者でもあった人です。
無限等比級数??なんだそりゃって人も多いかと思います。簡単に説明すると
1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + 1/1024…
を続けていったときに何に近づくかというのを考えたんです。
それをアルキメデスは視覚的に解いてしまったんです!!
（今日もなんだかヤバい雰囲気ですね。みなさんついてきてください。難しいなんて言わないでね・・・）
先ほどの式は初めの数が1/4で、2番目の数はその1/4倍、3番目は2番目の1/4倍・・・と続く等比数列です。
この数列を無限に足し合わせていくとなんと1/3になるんです。
では、どのように解いたのでしょう？
長くなりそうなので…次回に続きます。
（問題も紹介してない…スミマセン次回は必ず紹介します。）
カタラン数・モンモール数 解答
■解答です。
①まずは、カタラン数って何？
「一方が常にもう一方を超えない場合が何通りあるか」と言うことです。
500円硬貨を●、1000円札を□と置いて
1000円札が500円硬貨の枚数を超えないことに注意して書きだしてみると
●●●●□□□□ ●●□□●●□□
●●●□●□□□ ●●□□●□●□
●●●□□●□□ ●□●●●□□□
●●●□□□●□ ●□●●□●□□
●●□●●□□□ ●□●●□□●□
●●□●□●□□ ●□●□●●□□
●●□●□□●□ ●□●□●□●□
以上の14通りになります。
過去問を解いた時の解説では、この方法ではなく、格子点を利用した移動の方法を紹介しました。
「それもここに書いて」と思っている方もいますでしょうか？
また、機会がありましたらご紹介しますよ！
② A B C D Eさんのプレゼントをa b c d eと置いて並べてみます。
A B C D Eの順にもらえるのは
b a d e c b c a e d b d a e c b e a c d
b a e c d b c d e a b d e a c b e c a d
b c e a d b d e c a b e d e a
以上Aがｂをもらうときに11通り。c d e をもらうときも11通りずつなので
4×11＝44通りになります。
中学受験でモンモール数（攪乱順列）を出題できるのは、この5人のプレゼント交換の問題まででしょう。
なぜなら、小学生に数列の漸化式の理解は無理ですよね。
漸化式を解いて6人のプレゼント交換を求めると265通りになってしまいます。（調べ上げるのは無理でしょう・・・）
だらだらと解説をしていたら、こんなに長くなってしましました。
カタラン数、0 1 2 5 14 42 …
モンモール数、0 1 2 9 44 265 …
覚えておけば、調べ上げていく時も役に立ちますよ。
今日はここまでにします。
カタラン数・モンモール数
みなさんこんにちは
寒くなり、鍋・おでんが恋しくなる季節ですね。
おでん好きです。
今日は久々に数論について問題を出してみたいと思います。
■カタラン数、モンモール数(攪乱順列)の有名問題
早速問いです。
① 1枚500円のチケットが売られています。売り場にはお金がありませんでした。(つまりおつりがない。)
8人並んでいて、4人は500円玉、残りの4人は1000円札を持っています。この時、おつりが不足することなく全員にチケットを販売できる場合の数を求めなさい。
② 5人でプレゼント交換するとき、5人とも自分のプレゼントをもらわない場合の数を求めなさい。
どちらも有名な問題です。パッと解けるようになっておきましょう!!
①はカタラン数 0 1 2 5 14 42 …
②はモンモール数 0 1 2 9 44 265 …
を利用します。(と言うよりほぼ答えです。)
今日は問題だけ出して…解答は後日。
本日より新年度生入塾試験のページを公開しました。
お問い合わせお待ちしています。
算数 消費税（再掲）
こんにちは
今日も独り言です。
消費税の問題を今日はもう一度載せます。
8％バージョンに変えます。
「消費税8％で、税込の金額としてあらわれない500円に最も近い値段は？（1円未満は切り捨て）」
という問題です。
500÷1.08＝462.9…
なので、
462×0.05＝36.96 税は36円です。
税が36円になるのは
36÷0.08＝450円以上 37÷0.08＝462.5円未満より
450円から462円までで、税込金額の最大は462+36＝498円
同様に税が37円になるのは463円から474円までで、最小の金額は463+37＝500円
よって、あらあれない金額は499円です。
では別の方法で
商品の値段：税込の値段＝100：108＝25：27＝12.5：13.5
あらわれない金額は
13 26 40 53 67 …
群数列になりました。
13 40 67…（奇数番目を抜き出すと差が27の等差数列）
26 53 80…（偶数番目を抜き出すと差が27の等差数列）
(500-13)÷27＝18…1（間 公差が18個）
よって値段として表れないのは 13+27×18＝499円です。
今回は等差数列を使ってみました。
どうでしょう。
今回の入試で出るといいんですけどね・・・
授業見学、その他ご相談ありましたらこちらからどうぞ
今日はここまでです。
算数 矩形数
今日も独り言です
最近順調にブログを更新しています。
しかし、読者は増えていません…
そんなことはどうでもよくて、今日は算数の矩形数の話をしてみたいと思います。
矩形ってご存知ですか？
長方形の事です。
算数の数論では
三角数・四角数(平方数)は使いこなせるのが前提なのですが
本日の話題「矩形数」を使いこなせると手早く解ける問題があります。
ではどのような数字なのかと言うと…
2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90・・・と続く数字です。
お気づきでしょうか。
１×２＝２
２×３＝６
３×４＝12
４×５＝20
…
連続する2つの数の積を矩形数と言います。
どのような問題で登場するかと言うと （ここからは手書きで失礼します）
小6算数 数論 周期
今日も元気に独り言の更新です。
今回は久しぶりに、勉強の話を…
小6の授業はただいま、数論の学習の真っ最中です。
周期のポイントは、「余りの意味」を考えること。
これにつきます。
問題
1,2,3,3,1,2,3,3,……
(1)初めから50番目の数を求めなさい。
1,2,3,3の4個の数字の周期なので
50(番目)÷4＝12…2
余りの2の意味は、13周期目の2番目です。よって答えは2
(2)初めから順に数を加えていくと、何番目に和が93になりますか
1周期あたり和は1+2+3+3＝9なので、
93(和)÷9＝10…3
余り3の意味は、11周期目の和が3になるところ…3＝1+2
つまり11周期目の2番目です。
よって、4×10+2＝42番目
赤字にしてみましたが、意味（単位）を考える。
(2)のように出てきた数字がそのまま答えにならないことなんてたくさんあります。
なんとなくではなく、自分で説明できるようにしましょう。
これは、昨日解いた問題なのですが
小6のみんな、できていました。説明も自分なりにできていました。
夏前までは、基礎基本の徹底です。
これからも、一問ずつ丁寧に進めていきますよ。
今日はここまでです。
小6算数 数論（規則性）
今日も独り言です。
本日は小6算数の授業の話です。
この前の授業では、「規則性」の復習をしました。
等差数列・図形の周期・数表・グループ分け・周期の復習でした。
ポイントの確認に時間をかけました。
等差数列の和は公式にならないよう、小5の時に図で教えたのですが、
図は思い出したものの、説明がまだまだの生徒が多かったです。
解説を自分でできて、はじめて「理解した・定着した」と考えたほうがよいと思います。
基礎基本の徹底（子供たちには、方針の再確認と頭の中の整理）が夏までの目標と伝えました。
「基礎・基本と、どのような条件が異なっているのか？」
「どこの条件があれば、自分の知っている方針になるのか？」
思考力って、違いに気づくことができる力なのではないでしょうか。
違いに注目し”考える”ためにも、基礎を丸暗記してはいけません。
公式丸暗記では、出てきた数値を代入するだけなので、
条件が異なっていても気が付けません。
これから思考力（応用力）をつけるには、自分なりの解説をすることで丸暗記ではなく、論理的に問題を解き、理解・定着を目指すことが一番です。
みんな説明がまだまだです。
夏までたくさんの時間をみんなと一緒に勉強できます。
これからドンドン言葉にしてもらいますよ。
小5算数 約数・倍数 その3
今日は前置き抜きで、「約数と余り・倍数と余り」の問題。
「60を割ると4余る数」
線分図をイメージしながら、割り切れる数は何なのかを考えると、
(線分図は足し算・引き算を表すのに便利な図です)
「60を割ると4余る数」は、60-4＝56を割り切ることができる数です。
ですから、56の約数のうち余りの条件を考慮して4より大きい数 を求めるわけです。
次に
「6で割ると3余る数」
やはり線分図を意識して、
6で割り切れる数より3大きい数
ですから、6の倍数+3 を求めればいいんですね。
「ある数を割り切れる」「ある数で割り切れる」
が、しっかりとわかっていれば、
60の約数-4 とか
6+3＝9だから9の倍数 などの解法パターン丸暗記からくるミスは防げると思います。
割り切れる数は何なのか…考えてみましょうね。
弱点にしてしまってはもったいない分野です。
いつも授業では「じっくり」と考えてもらっています。
春期講習でも時間をたっぷりとって復習しますよ。
今日はここまでです。
小5算数 約数・倍数の続き
本日も独り言を…
旧小6生の卒業式、もうすぐですね。卒業おめでとう。
新年度が始まり、1カ月がたちました。早いものです。
そして、あっという間に春期講習も始まります。
新小6生の皆さん、今やれることは何なのでしょう?
1カ月間しっかりと学習できましたか?
ペースはつかめましたか?
この時期にやるべきことは、生活の(勉強の)リズムを整えることです。
うまくいかないことがあったら、相談してくださいね。
さて、「約数・倍数」の話の続きです。
ただいま、新小5生は「分数」の学習をしています。
約分や倍分・通分のために、「約数・倍数」を学んできたわけですが、
ただの計算のツールではないんです。
約数の意味ってお分かりですか?
「ある数を割り切ることができる数」
ある数÷□＝整数 のとき□は約数になるんです。
倍数は
「ある数で割り切ることのできる数」
□÷ある数＝整数 のとき□は倍数です。
授業では上記の2つを重視しています。
ここを適当にすると、
小6になって「約数と余り」の余りの処理の仕方、
「倍数と余り」の余りの処理の仕方がわからなくなってしまうんです。
この話は次の回に…
小5生の問題としては、「あるクラスの生徒は同じ人数ずつ8班に分けられます。クラスの人数は何人ですか。ただし40人より多く50人より少ないものとします。」
というものがあります。
問題を読んだ瞬間、クラスの人数は8の倍数だと気づきますが、
なぜ、8の倍数になるのか説明を求めると、うまくいかないものです。
倍数の意味を考えて、
「8班に分けられます。」→クラスの人数は8で割り切れる→8の倍数と説明してもらいたいところです。
自分のことばで説明すると、より理解が深まると思いますよ。
今日はここまでにします。
小5算数 約数と倍数 等々
今回の独り言は…
色々と書かなければいけないと反省しています。
まず前回「2/9・10日能研全国公開模試」のポイント解説ですね
新小5算数
小4カリキュラムの最後の頃(12月末～1月にかけて)
「平均・和差算・倍数算・つるかめ算」を学習しました。その定着度が測られた出題でした。
「解いたことあるんだけど…試験になるとできなくなるんだよね…」
なんてことにならないようにするためには、どうすればいいのでしょうか？
ひたすら練習あるのみでしょうか？
僕は「自分なりに解説してみる。説明してみる。」ことが重要だと思っています。
図を描くことにより具体化し、ことばにすることにより抽象化する。自分なりの抽象化ができれば、どのような筋道をたどればゴールに近づけるかが考えられるのだと思います。
新小6算数
前回の問題、大問2の(9)が良い問題でしたね。
「2013を連続する61個の整数の和で表すとき、最小の数と最大の数をそれぞれ求めなさい」
和差算で処理するのもいいですが(もちろん地道に調べていくのもいいでしょう)
この問題で問われているのは、「平均」 「基数・序数」です。
連続する整数の和→中央の数が平均
中央の数は左から （1＋61）÷2＝31番目…序数 31－1＝30番後…基数（間の数）
この2つの条件を見抜ければ、
最小 2013÷61－30＝3
最大 2013÷61＋30＝63 となります。
題意をしっかりと把握するとラクに解ける良い問題です。
「問題の全てを見通す」「題意を把握する」ことは、得点力をつけるためには必要な考え方です。
次の独り言は…5年生のお話しです。
現在新小5生は「約数・倍数」を学習しています。
約数の意味、倍数の意味ってちゃんと言えますか？
そんなところから授業では話しています。当然生徒たちに説明してもらっています。
この「約数の意味」をテキトーに済ませてしまうと
「100を割ったとき4余る整数は何個ありますか」 が解けなくなります。（答え8個）
ご興味のある方は、授業をのぞきに来てください。
いつでも授業見学は受け付けています。
春期講習も受付中です。
レザンの新年度は2月から始まっています。ここまでの学習内容をこの春期講習で復習し、定着するよう「じっくり」学習していきます。
新小5生は約数・倍数、分数の計算
新小4生は整数の計算、割り算の意味 など
今後のカリキュラムの基礎になる部分に取り組みます。
これから「スタート」をする。一歩「踏み出す」チャンスです。是非レザンの春期講習にご参加ください。
今日の独り言はここまでです。
小5算数 周期
周期の話をするのを忘れていました。
それでは独り言を…
周期(繰り返し)は割り算をする
そんなことは重要ではなく、
式の意味、余りの意味(単位)を考えることがポイントです。
例えば次のような…
5/7を小数で表したとき、小数第50位は？
5/7＝5÷7＝0.714285714285…
6個の数字が繰り返されている周期ですから、
50番目の数字は
50÷6＝8余り2
余り2の意味を考えて欲しいんです。
「9周期目の2番目」
よって数字は1です。
次の問題はどうでしょうか
5/7を小数で表した時、小数第何位までの数を足し合わせると390になるでしょう？
1周期の数の和は、7+1+4+2+8+5＝27
和が390になるのは
390÷27＝14余り12
余り12の意味は15周期目の和が12ということです。
12＝7+1+4
よって15周期目の3番目…6×14+3＝87
小数第87位です。
余りの意味を考えることが重要ですね(やはり図がないと、わかりづらいですね…)
目を赤字にしているのは、基数と序数の区別をしてほしいからです。
基数と序数についてはまたの機会に…
今日はここまでにします。
小5算数 等差数列・周期・グループ分け
久々の更新です。楽しみにしていてくださる方(そんな人いないって…というツッコミはさておき)すみません。
今日は等差数列・周期の話です。
僕は等差数列の解法は植木算の要素を含んだものを紹介しています。
違う解法を薦めていらっしゃる先生方もたくさん存じ上げていますが…
「1違い」に惑わされなくて済むので、倍数と余り・倍数と不足がいいようにも思えます。
しかしですよ、植木算ができないと整数の個数を数えるときはどうするのでしょう??
50～150までの整数の個数は
150-50+1と丸暗記するのでしょうか？
普段から序数・基数の区別をして、「1違いは大違い」を考え続けるべきではないのかと思っています。
だから、いつも生徒に公差・たす回数を解説してもらっています。
周期のお話はまた次回にします…
授業では生徒たちに自分なりの解説をしてもらっています。
気になりましたら、授業見学をしてください。
小5算数 場合の数
本日の独り言は、場合の数についてです。
皆さん数えるときに意識していることはありますか？
表にまとめる、樹形図を描く…など
これらは数え方です。
意識したいのは、「順列」なのか「組み合わせ」なのか
授業では、この2つ見分け方を強調しました。
次に意識したいのは、やみくもに数えないこと
そのためには2つのポイントがあって、
その2つを授業で伝えました。
場合の数なんて樹形図を描いて(順列・組み合わせの公式を使って)数えちゃえばいいんだ…
なんて考えていると痛い目にあいますよ。
授業に興味がある方は、是非体験授業をどうぞ
小６算数 ニュートン算・消費税問題
今日は、ニュートン算と先日の5％の方の消費税問題の別解を書きたい思います。
昨日小6の算数は、ニュートン算のイントロダクションをしました。
ニュートン算は昨年の入試で出題が目立っていました。
線分図にまとめて、そこから分かる情報をしっかりと読み取ることが重要です。
夏期講習中にもう一度演習をしたいと思っています。
小6夏期講習は若干名受付中です。
先日ご紹介した消費税問題の解説です。
「消費税5％で、税込の金額としてあらわれない500円に最も近い値段は？」
という問題です。
500÷1.05＝476.1…
なので、
476×0.05＝23.8 税は23円です。
税が23円になるのは460円から479円までで、最大の金額は479+23＝502円
税が24円になるのは480円から499円までで、最小の金額は480+24＝504円
よって、あらあれない金額は503円
ここからは、授業では紹介する解法です。ご興味のある方は一読ください。
割合の問題なので、比で解きます。というよりも、意識します。
商品の値段：税込の値段＝100：105＝20：21
ここで、規則を調べます。
あらわれない金額は
20 41 62 83 …
気付きましたか？
21円ずつ増えていますね。20：21に注目すると、始めて税がかかるのは20円その値段は21円、そのあとは21の倍数ずつでてきます。そして…
「21の倍数－1」
に注目できれば、あとは【倍数と不足】の問題ですね。
500÷21＝23…17
よって23の倍数－1は
21×23-1＝482 または
21×24-1＝503 なので
500円に最も近いのは503円になります。
１つの問題でもいろんな解き方があります。
小6生で試行錯誤できるのはこの時期です。夏期講習になると、どの科目も総復習で時間をかけてじっくり取り組むなんて、それほどできません。
別解を考える、試行錯誤をする! みなさんやってみてはいかがでしょう
消費税(算数の問題)
本日消費増税法案が衆院を通過しました。
なんて書き出しをすると、いつもの独り言と違う感じになってしまいますよね…
でも今日は消費税のお話をしたいと思います。
賛成とか反対とかでなく、算数の話なのであしからず。
算数の消費税問題で有名なのは、
「現在消費税は5％です。19円の品物の税込みの値段は19円、20円の品物は税込みで21円になるので、20円を支払うことはありません。このような支払うことない金額のうち500円に最も近いものを求めなさい」(答えは503円)
というものがあります。
10％になっても出題はできます。
以下は消費税が10％のときの解法です。
500÷1.1＝454.54…
このとき支払う税は454円×0.1＝45.4で45円(1円未満は切り捨てです)
消費税が45円の品物の値段は450円から459円までで支払う最高の金額は
459+45＝504円
消費税が46円の品物の値段は460円から469円までで支払う最低の金額は
460+46＝506円
なのでこの間の505円が答えとなります。
10％だと計算が楽になりますね…
今日の話題でこんな問題を思い出してしまいました。
2014/10/29 消費税8％verにして更新しました